Question

已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ）若直线y=kx+1与函数y=lnx的图象相切，求实数k的值．
（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设出切点，求出lnx的导数，求出切线的斜率，列出方程组，求出x₀，k；
（Ⅱ）由条件转化为方程f（x）=mx²的根的个数，分离出参数m=

ex

x2

，令h（x）=

ex

x2

，求出h′（x），求出单调区间，求出极值，即为最值，根据图象讨论m的取值即可得到公共点的个数．

解答： 解：（Ⅰ）设直线y=kx+1与函数y=g（x）=lnx的图象相切于点P（x₀，y₀），
则kx₀+1=lnx₀．且k=g′（x₀）=

1

x0

，
即有lnx₀=2，x₀=e²，k=e-2；
（Ⅱ）当x＞0，m＞0时，曲线f（x）=e^x与曲线y=mx²（m＞0）的公共点的个数，
即方程f（x）=mx²的根的个数．
由f（x）=mx²即m=

ex

x2

，h′（x）=

ex(x-2)

x3

，
则h（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增，
∴h（2）是h（x）的极小值即为最小值，且为

e2

4

．
∴对曲线y=f（x）与曲线y=mx²（m＞0）的公共点的个数，
讨论如下：
当m∈（0，

e2

4

），有0个公共点；
当m=

e2

4

时，有1个公共点；
当m∈（

e2

4

，+∞），有2个公共点．

点评：本题主要考查导数的综合运用：求切线方程和求单调区间、求极值和最值，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．