Question

已知函数f（x）=log₃

x+1

ax-1

（a∈R）为奇函数．
（1）求a的值；
（2）设函数g（x）=f^-1（x）+log 

1

3

t存在零点，求实数t的取值范围；
（3）若不等式f（x）-m≥3^x在x∈[2，3]上恒成立，求实数m最大值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,奇偶性与单调性的综合,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义建立方程，即可求a的值；
（2）求出函数g（x）=f^-1（x）+log 

1

3

t的表达式，根据函数零点存在的判断条件，求实数t的取值范围；
（3）将不等式f（x）-m≥3^x在x∈[2，3]上恒成立，进行转化，利用参数分离法，求函数的最值即可求实数m最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=log₃

x+1

ax-1

（a∈R）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0，
即log₃

x+1

ax-1

+log₃

-x+1

-ax-1

=log₃

x2-1

a2x2-1

=0，
即

x2-1

a2x2-1

=1，即a²=1，a=±1；
当a=1时，log₃

x+1

x-1

的奇函数，满足条件．
当a=-1时，log₃

x+1

-x-1

=log₃（-1）不成立，
故a=1．
（2）∵log₃

x+1

x-1

，∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
解得f^-1（x）=

3x+1

3x-1

，（x≠0），
∵函数g（x）=f^-1（x）+log 

1

3

t存在零点，
即f^-1（x）+log 

1

3

t=0有解，
即f^-1（x）=log₃t=

3x+1

3x-1

有解，
∵

3x+1

3x-1

=1+

2

3x-1

∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，
∴log₃t＜-1或log₃t＞1，
即0＜t＜

1

3

或t＞1，
即实数t的取值范围是0＜t＜

1

3

或t＞1；
（3）若不等式f（x）-m≥3^x在x∈[2，3]上恒成立，
即m≤f（x）-3^x在x∈[2，3]上恒成立，
∵f（x）-3^x=log₃

x+1

x-1

-3^x=log₃（1+

2

x-1

）-3^x，在x∈[2，3]上单调递减
∴[f（x）-3^x]_min=f（3）-3³=log₃2-27，
∴m≤=log₃2-27，
即实数m最大值是=log₃2-27．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，根据对数函数的图象和性质是解决本题的关键．