Question

已知椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在y轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	0	-1	2	4
y	-2 2	1 16	-2	1

（1）求C₁，C₂的标准方程；
（2）设斜率不为0的动直线l与C₁有且只有一个公共点P，且与C₂的准线相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设C₁，C₂的标准方程分别为：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），x²=my，将（4，1）和（-1，

1

16

）代入抛物线方程得到的解相同，可得抛物线方程，从而可知另外两点在椭圆C₁上，代入坐标，即可求出C₁，C₂的标准方程；
（2）设直线l的方程为x=my+n将其代入

y2

8

+

x2

4

=1，消去x并化简整理，利用动直线l与C₁有且只有一个公共点P，可得n²=4（1+2m²），直线l与C₂的准线相交于点Q（n-4m，-4），可得以PQ为直径的圆的方程为（x-

4

n

）（x-n+4m）+（y+

8m

n

）（y+4）=0，化简并整理，令x=0，即可得出结论．

解答： 解：（1）设C₁，C₂的标准方程分别为：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），x²=my，
将（4，1）和（-1，

1

16

）代入抛物线方程得到的解相同，且m=16；
（0，-2

2

）和（

2

，-2）在椭圆上，代入椭圆方程得a=2

2

，b=2，
故C₁，C₂的标准方程分别为

y2

8

+

x2

4

=1，x²=16y（6分）
（2）设直线l的方程为x=my+n将其代入

y2

8

+

x2

4

=1，消去x并化简整理得
（1+2m²）y²+4mny+2n²-8=0．
∵动直线l与C₁有且只有一个公共点P，
∴△=0，可得n²=4（1+2m²）（8分），
设切点P（x₀，y₀），则y₀=-

8m

n

，x₀=

4

n

．
又直线l与C₂的准线相交于点Q（n-4m，-4），
∴以PQ为直径的圆的方程为（x-

4

n

）（x-n+4m）+（y+

8m

n

）（y+4）=0（10分），
化简并整理得x²-

4

n

x+（4m-n）x+

8m

n

（y+2）+（y+2）²=0恒成立，
故x=0，y=-2，即存在定点M（0，-2）合题意．（13分）

点评：本题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．