Question

已知曲线C：x²-

y2

3

=1（x＞0），A（-1，0），F（2，0）
（1）设M为曲线C上x轴上方任一点，求证：∠MFA=2∠MAF；
（2）若曲线C上存在两点C，D关于直线l：y=-

1

2

x+b对称，求实数b的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在过C、A、D、F的圆，且该圆的半径为

3

2

．如果存在，求出这个圆的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M点坐标为（x₀，y₀），则y02=3(

x

2 0

-1)．由于点M为x轴上方的一点，tan∠MAF=k_MA，tan∠MFA=-k_MF，由此由正切函数的性质，能证明∠MFA=2∠MAF．
（2）设直线CD的方程为y=2x+m，代入x2-

y2

3

=1中，得x²+4mx+m²+3=0，由此利用根的判别式和韦达定理能求出b的取值范围．
（3）法一：假如四点C、A、D、F共圆，圆心恰在x轴上，所以AF为外接圆的直径，由双曲线的对称性，CD⊥AF，这与k_CD=2不符，故假设错误，所以四点C、A、D、F不可能共圆于半径为

3

2

的圆．
（3）法二：假如四点C、A、D、F共圆，由圆的半径为

3

2

，得b=

1

4

，与（2）的结论b＞4不符，故假设错误，所以四点C、A、D、F不可能共圆于半径为

3

2

的圆．

解答： （1）证明：设M点坐标为（x₀，y₀），则有x02-

y 2 0

3

=1，即y02=3(

x

2 0

-1)．
由于点M为x轴上方的一点，tan∠MAF=k_MA，
tan∠MFA=-k_MF=

y0

2-x0

tan2∠MAF=

2tan∠MAF

1-tan2∠MAF

=

2kMA

1-kMA2

=

2 y0 x0+1

1-( y0 x0+1 )2

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-3(x02-1)

=

2y0

4-2x0

=

y0

2-x0

，
又∠MFA、2∠MAF∈（0，π），且由正切函数的性质，有∠MFA=2∠MAF，
∴∠MFA=2∠MAF．…（5分）
（2）解：设直线CD的方程为y=2x+m，代入x2-

y2

3

=1中，
得x²+4mx+m²+3=0，（1）
由于方程（1）有两不等正根，
设C、D的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则有

△=16m2-4(m2+3)＞0 x1+x2=-4m＞0 x1•x2=m2+3＞0

，解得m＜-1，
又∵线段CD的中点M（-2m，-3m）也在直线y=-

1

2

x+b上，
于是有-3m=m+b，b=-4m，∴b＞4．…（10分）
（3）解法一：假如四点C、A、D、F共圆，
则圆心在直线x=

1

2

及直线y=-

1

2

x+b上，圆心坐标为(

1

2

，b-

1

4

)，
又由于圆的半径为

3

2

，由

( 1 2 +1)2+(b- 1 4 )2

=

3

2

，得b=

1

4

，
从而圆心恰在x轴上，所以AF为外接圆的直径，
∴∠ACF=90°，又由∠CFA=2∠CAF知

∠CAF=300

，同理∠DAF=30°，
由双曲线的对称性，CD⊥AF，这与k_CD=2不符，故假设错误，
∴四点C、A、D、F不可能共圆于半径为

3

2

的圆．…（14分）
（3）解法二：假如四点C、A、D、F共圆，
则圆心在直线x=

1

2

及直线y=-

1

2

x+b上，圆心坐标为(

1

2

，b-

1

4

)，
又由于圆的半径为

3

2

，由

( 1 2 +1)2+(b- 1 4 )2

=

3

2

，得b=

1

4

，
与（2）的结论b＞4不符，故假设错误，
∴四点C、A、D、F不可能共圆于半径为

3

2

的圆．…（14分）

点评：本题考查两角相等的证明，考查实数的取值范围的求法，考查四点共圆的判断与求法，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．