Question

△ABC中三个角的对边分别记为a、b、c，其面积记为S，有以下命题：
①S=

1

2

a²

sinBsinC

sinA

；
②若2cosBsinA=sinC，则△ABC是等腰直角三角形；
③sin²C=sin²A+sin²B-2sinAsinBcosC；
④（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B）则△ABC是等腰或直角三角形．
其中正确的命题有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,解三角形

分析：△ABC中，由正弦定理以及三角形面积公式可以推到出①正确；
由三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，推导出②错误；
由余弦定理和正弦定理可以推导出③正确；
由正弦定理和二倍角公式推导出△ABC是等腰或直角三角形，判定④正确．

解答： 解：对于①，△ABC中，∵

a

sinA

=

b

sinB

，∴b=

asinB

sinA

，
∴面积S=

1

2

absinC=

1

2

a•

asinB

sinA

•sinC=

1

2

a²

sinBsinC

sinA

，∴命题①正确；
对于②，△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2cosBsinA，
∴sinAcosB-cosAsinB=0，sin（A-B）=0，∴A=B，∴△ABC是等腰三角形；∴命题②错误；
对于③，△ABC中，由余弦定理得c²=a²+b²-2ab•cosC，
由正弦定理得sin²C=sin²A+sin²B-2sinAsinBcosC，∴命题③正确；
对于④，△ABC中，∵（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），
∴a²[sin（A-B）-sin（A+B）]=-b²[sin（A-B）+sin（A+B）]，
即  a²[sin（A+B）-sin（A-B）]=b²[sin（A-B）+sin（A+B）]，
∴2a²cosA•sinB=2b²sinAcosB，
由正弦定理得 2sin²AcosA•sinB=2sin²BsinAcosB，
∵0＜B＜π，0＜A＜π，∴sinA≠0，sinB≠0，
∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B；
∴sin2A-sin2B=0，∴2cos（A+B）•sin（A-B）=0；
∴A=B，或A+B=90°，∴△ABC是等腰或直角三角形；∴命题④正确．
综上，正确的命题是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了正弦、余弦定理的应用问题，三角形的内角和定理，两角和的正弦公式以及二倍角的三角函数公式的 应用问题，是综合性题目．