Question

【题目】已知命题p：函数f（x）=（m2﹣1） 上为增函数；命题q：函数g（x）=x2﹣2elnx﹣m有零点．
（I）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：若命题p为真命题，

即函数f（x）=（m2﹣1） 上为增函数，

则m2﹣1＞0，解得：m＜﹣1，或m＞1，

∵函数g（x）=x2﹣2elnx﹣m

∴g′（x）=2x﹣

当x∈（0， ）时，g′（x）＜0，当x∈（ ，+∞）时，g′（x）＞0，

故当x= 时，函数g（x）取最小值﹣m，

若命题q为真命题：函数g（x）=x2﹣2elnx﹣m有零点．

则：﹣m≤0，即m≥0，

（I）若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，

则 ，

解得：﹣1≤m＜0；

（Ⅱ）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，

若p真q假，则 ，解得：m＜﹣1

若p假q真，则 ，解得：0≤m≤1，

综上可得：0≤m≤1，或m＜﹣1

【解析】当命题p为真命题时，列出不等式，求出m的取值范围；利用导数讨论函数g（x）的单调性，求出函数g（x）的最小值，当命题q为真命题时写出m的取值范围；（1）若pq为假命题，则p、q均为假命题；（2）若pq为真命题，pq为假命题，则p，q一真一假.
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合命题的真假的相关知识，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．