Question

10．已知关于x的方程x²+ax+a-2=0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（3）设该方程的两个实数根分别为x₁，x₂，若2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，求a的值．

Answer 1

分析 （1）将x=1带入方程求解a的值及该方程的另一根即可．
（2）利用判别式即可证明方程都有两个不相等的实数根．
（3）利用韦达定理求解x₁+x₂和x₁x₂的值带入2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，求a的值．

解答 解：（1）方程x²+ax+a-2=0．
当x=1时，有1+a+a-2=0，解得：a=$\frac{1}{2}$．
可得2x²+x-3=0，
分解因式可得：（2x+3）（x-1）=0．
${x}_{1}=1，{x}_{2}=-\frac{3}{2}$
故得另一个根为$-\frac{3}{2}$．
（2）判别式△=b²-4ac=a²+4（2-a）=（a-2）²+4恒大于0．
∴方程都有两个不相等的实数根．
（3）根据韦达定理：x₁+x₂=$-\frac{b}{a}$=-a，x₁x₂=$\frac{c}{a}$=a-2
那么：2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，即2（-a）+（a-2）+10=0，
解得：a=8．
故若2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，则a的值为8．

点评 本题考查的知识点是根的分布，方程的根以及韦达定理的运用．比较基础．