Question

某几何体的直观图如图1，其按一定比例画出的三视图如图2，三视图中的长度a对应直观图中2cm．

（1）结合两个图形，试指出该几何体中相互垂直的面与相互垂直的线段，并指出相关线段的长度；
（2）求AB与CD所成角的大小：
（3）求二面角A-BD-C的平面角的正切值；
（4）计算该几何体的体积与表面积．

Answer 1

（1）三棱锥A-BCD中，面ABC⊥面BCD，
∠BCD=90°，∴BC⊥CD，CD⊥平面ABC，∵AC，AB?平面ABC，CD?平面ACD，
∴CD⊥AC，CD⊥AB，平面ACD⊥平面ABC
AC=CD=BC=AB=4，AE=2

3

，E为BC的中点；
（2）面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，
∵CD⊥BC，∴CD⊥面ABC
∵AB?面ABC，∴CD⊥AB
即AB与CD所成的角是90°
（3）过点E作EF⊥BD于F，连接AF，则EF为AF在平面BCD内的射影，由三垂线定理得AF⊥BD，
∴∠AFE即为所求二面角的平面角，
AE=2

3

，在Rt△BEF中，∠EBF=45°，BE=2．
∴EF=

2

，∴tan∠AFE=

AE

EF

=

2 3

2

=

6

．
（4）由三视图可知AE=2

3

，且为三棱锥的高，
三棱锥A-BCD的体积为V=

1

3

•2

3

•

1

2

×4×4=

16

3

3

（cm³）
由（2）可知CD⊥AC，CD⊥BC
∴S_△ACD=S_△BCD=

1

2

×4×4=8；
S_△ABC=

1

2

×4×2

3

=4

3

；
△ABD中，AF=

AE2+EF2

=

12+2

=

14

，BD=4

2

，∴S△ABD=

1

2

×4×2

7

=4

7

∴S=8+8+4

3

+4

7

=（16+4

3

+4

7

）cm²