Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+1．
（1）已知函数f（x）在x=1时有极小值，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到f′（1）=0，解出即可；
（2）求出函数的导数，利用a与0大小比较，分类讨论通过等号的符号，求函数f（x）的单调递减区间；
（3）利用f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，转化为a的不等式，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2ax，
若函数f（x）在x=1时有极小值，
则f′（1）=1-2a=0，解得：a=$\frac{1}{2}$；
（2）f′（x）=x²-2ax，
当a=0时，f'（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；
当a＞0时，由f'（x）＜0得：0＜x＜2a；
当a＜0时，由f'（x）＜0得：2a＜x＜0；
综上所述，当a=0时，无递减区间；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，2a）；
当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（2a，0）．
（3）因为 f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{3}$x³-ax²≥0在区间[3，+∞）上恒成立，
所以a≤$\frac{1}{3}$x在区间[3，+∞）上恒成立，
∵x≥3，∴$\frac{1}{3}$x≥1，
∴a≤1．

点评 本题考查函数的对称性，导函数求解函数的单调区间，函数的恒成立问题的应用，考查分类讨论转化思想的应用，是中档题．