Question

15．已知α、β∈（0，π），且tanα、tanβ是方程x²+5$\sqrt{3}$x+6=0的两根．
（Ⅰ）求α+β的值；
（Ⅱ）求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用韦达定理、两角和的正切公式求得tan（α+β）的值，再结合α+β的范围，求得α+β的值．
（2）由（1）得cosαcosβ-sinαsinβ=-$\frac{1}{2}$，再根据tanα•tanβ=$\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}$=6，求得sinαsinβ 和cosαcosβ 的值，可得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 的值．

解答 解：（Ⅰ）由tanα、tanβ是方程x²+5$\sqrt{3}$x+6=0的两根，可得 tanα+tanβ=-5$\sqrt{3}$，tanα•tanβ=6，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\sqrt{3}$．
再结合α、β∈（0，π），tanα＜0、tanβ＜0，可得α、β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴α+β∈（π，2π ），
∴α+β=$\frac{4π}{3}$．
（Ⅱ）由（1）得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=cos$\frac{4π}{3}$=-$\frac{1}{2}$ ①，
再根据tanα•tanβ=$\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}$=6 ②，
由①②求得sinαsinβ=$\frac{3}{5}$，cosαcosβ=$\frac{1}{10}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{7}{10}$．

点评 本题主要考查韦达定理、两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．