Question

7．不等式2x²-axy+y²≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a≤2$\sqrt{2}$
• B． a≥2$\sqrt{2}$
• C． a≤$\frac{11}{3}$
• D． a≤$\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 不等式等价变化为a≤$\frac{{2x}^{2}{+y}^{2}}{xy}$=$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$，则求出函数$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$的最小值即可．

解答 解：依题意，不等式2x²-axy+y²≤0等价为a≤$\frac{{2x}^{2}{+y}^{2}}{xy}$=$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$，
设t=$\frac{y}{x}$，
∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{x}$≤1，即$\frac{1}{2}$≤$\frac{y}{x}$≤3，
∴$\frac{1}{2}$≤t≤3，
则$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$=t+$\frac{2}{t}$，
∵t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{2}{t}}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当t=$\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$时取等号，
故选：A．

点评 本题主要考查不等式的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，要求熟练掌握函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$，a＞0图象的单调性以及应用．