Question

已知P：关于x的方程x²+（m-1）x+1=0在区间（0，2）上有两个相异的零点；Q：函数g（x）=

1

3

x³+mx+m在（-∞，+∞）上有极值．若P和Q有且只有一个正确，求m的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,简易逻辑

分析：若P正确，由二次方程的根的位置可得

△=(m-1)2-4＞0 0＜- m-1 2 ＜2 f(0)=1＞0 f(2)=4+2(m+1)+1＞0

，从而求解；若Q正确，则g′（x）=x²+m有正有负，从而可得m＜0；从而由命题求m的范围．

解答： 解：若P正确，
设f（x）=x²+（m-1）x+1，
则

△=(m-1)2-4＞0 0＜- m-1 2 ＜2 f(0)=1＞0 f(2)=4+2(m+1)+1＞0

，
解得：-

3

2

＜m＜-1；
若Q正确，
则g′（x）=x²+m
（1）若m≥0，则g′（x）≥0恒成立，即g（x）在（-∞，+∞）为增函数，无极值；
（2）若m＜0，则令g′（x）=x²+m≥0得x≤-

-m

或x≥

-m

，
令g′（x）=x²-m≤0，得-

-m

≤x≤

-m

；
即函数g（x）在（-∞，-

-m

]及[

-m

，+∞）上为增函数，在[-

-m

，

-m

]上为减函数．
故x=-

-m

及x=

-m

是g（x）的极值点．
综上所述，当m＜0时，函数g（x）有极值点．
∵P和Q有且只有一个正确，
则m的范围是（-∞，-

3

2

]∪[-1，0）．

点评：本题考查了二次函数的性质应用及导数的综合应用，属于中档题．