Question

在平面直角坐标系中，已知三定点A（2，1），B（0，-1），C（-2，1）和两点D，E满足

AD

=t

AB

，

BE

=t

BC

，t∈[0，1]．
（1）求直线DE的斜率k的取值范围和倾斜角α的取值范围；
（2）求线段DE的长度的最小值，并求出此时直线DE的方程．

Answer 1

考点：直线的斜率,向量数乘的运算及其几何意义

专题：直线与圆

分析：（1）设D（a，b）；E（c，d），由

AD

=t

AB

，

BE

=t

BC

，表示出D，E的坐标，利用斜率公式表示出k，根据k=tanα及0≤α＜π求出倾斜角α的取值范围；
（2）利用两点距离公式表示出|DE|，利用二次函数求出其最小值，求出D，E的坐标得到直线方程．

解答： 解：（1）设D（a，b）；E（c，d），
∵

AD

=t

AB

，

BE

=t

BC

，
∴（a-2，b-1）=（-2t，-2t）；（c，d+1）=（-2t，2t）
∴D（2-2t，1-2t），E（-2t，2t-1），
k=

(2t-1)-(1-2t)

-2t-(2-2t)

=-2t+1，
∵t∈[0，1]，
∴k∈[-1，1]
∵k=tanα，
∴-1≤tanα≤1
∵0≤α＜π
∴0≤α≤

π

4

或

3π

4

≤α＜π
（2）|DE|=

(2-2t+2t)2+(1-2t-2t+1)2

=

16t2-16t+8

，（t∈[0，1]，）
当t=

1

2

时有最小值为2，此时，D（1，0），E（-1，0）
∴直线DE的方程y=0．

点评：本题考查直线的斜率公式，考查斜率与倾斜角的关系；考查两点距离公式及函数最值的求法，属于中档题．