Question

已知f（x）=x+

a

x-2

的图象经过点A（3，7），则f（x）的值域为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：将A（3，7）代入f（x）求得a，可得f（x）=x+

4

x-2

，然后求定义域，在定义域内讨论值域，分类讨论，利用基本不等式求解．

解答： 解：f（x）=x+

a

x-2

的图象经过点A（3，7），则有3+

a

3-2

=7，解得a=4，
所以f（x）=x+

4

x-2

，定义域为{x|x≠2}，
则当x＞2时，x-2＞0，f（x）=x+

4

x-2

=x-2+

4

x-2

+2≥2

(x-2)× 4 x-2

+2=6（当x=4时取得最小值），
当x＜2时，x-2＜0，f（x）=x+

4

x-2

=x-2+

4

x-2

+2，
此时，-（x-2）＞0，x-2+

4

x-2

=-[-（x-2）-

4

x-2

]≤-4，
所以x-2+

4

x-2

+2≤-2，即f（x）≤-2，
则函数值域为（-∞，-2）∪（6，+∞）．
故答案为：（-∞，-2）∪（6，+∞）．

点评：本题考查函数的值域，利用基本不等式求解，注意不等式的使用条件，凑条件使用公式．