Question

若直线l与椭圆x²+

y2

9

=1相交于不同的两点M、N，且线段MN恰好被直线x+

1

2

=0平分，则直线l的倾斜角范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：根据题意，设出直线l的方程，与椭圆的方程联立消去y，利用判别式△＞0得出k、b关系，
再由根与系数的关系得出x₁+x₂和x₁x₂，根据MN的中点的横坐标求得k和b的关系，从而求出b、k的范围，得出直线倾斜角的取值范围．

解答： 解：根据题意，直线l不与坐标轴平行；
设直线方程为y=kx+b（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则

y=kx+b x2+ y2 9 =1

，
消去y，整理得，
（9+k²）x²+2kbx+b²-9=0；
则△=（2kb）²-4（9+k²）（b²-9）＞0，即k²-b²+9＞0；
∴x₁+x₂=-

2kb

9+k2

，x₁x₂=

b2-9

9+k2

；
又∵线段MN被直线x+

1

2

=0平分，
∴MN中点的横坐标x=

1

2

（x₁+x₂）=-

1

2

，
即x₁+x₂=-1，∴9+k²=2kb，
整理得（k-b）²=b²-9≥0，
∴b²≥9，即b≥3或b≤-3；
又∵b（b-2k）＜0，
∴当b≥3时，b-2k＜0，k＞

b

2

≥

3

2

，
b≤-3＜0时，b-2k＞0，k＜

b

2

≤-

3

2

；
∴k的取值范围是（-∞，-

3

2

）∪（

3

2

，+∞）
∴直线l的倾斜角的取值范围是（arctan

3

2

，

π

2

）∪（

π

2

，π-arctan

3

2

）．
故答案为：（arctan

3

2

，

π

2

）∪（

π

2

，π-arctan

3

2

）．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应利用直线方程与圆锥曲线方程组成方程组消去一个变量后，转化为一元二次方程根的问题，再结合根与系数的关系及判别式解答问题，是综合题目．