Question

15．已知函数f（x）=ax²-3x+b，若f（x）＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}．
（1）解不等式$\frac{x-c}{ax-b}$＞0（c为常数）；
（2）若bx-1＞m（ax²-1）在m∈[-2，2]上恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a，b的值，通过讨论c的范围，解不等式即可；
（2）不等式对任意m恒成立，可把m看作变量，x为常数，构造一次函数f（m），根据其单调性得到不等式组，再解出即可．

解答 解（1）∵函数f（x）=ax²-3x+b，若f（x）＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}．
∴1，2是方程ax²-3x+b=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3+b=0}\\{4a-6+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴不等式$\frac{x-c}{ax-b}$＞0（c为常数），即$\frac{x-c}{x-2}$＞0，
c＞2时，解得：x＞c或x＜2，
c＜2时，解得：x＞2或x＜c，
故c＞2时，不等式的解集是{x|x＞c或x＜2}，
c＜2时，不等式的解集是{x|x＞2或x＜c}；
（2）若bx-1＞m（ax²-1）在m∈[-2，2]上恒成立，
由（1）得：即2x-1＞m（x²-1）在m∈[-2，2]上恒成立，
不等式2x-1＞m（x²-1）可化为
m（x²-1）-2x+1＜0…①
当x=1时，①式即-1＜0，显然成立，
当x=-1时，①式即3＜0，显然不成立，
当x≠±1时，令f（m）=m（x²-1）-2x+1，
由一次函数性质知，
不等式2x-1＞m（x²-1）对任意m∈[-2，2]恒成立等价于，
$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{-{2x}^{2}-2x+3＜0}\\{{2x}^{2}-2x-1＜0}\end{array}\right.$，
解得，（$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$），
∴x∈（$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$），
故答案为：（$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）．

点评 本题主要考查不等式问题，考查转化思想，即确定主元，同时考查构造函数思想，应用函数的性质解决，解题时还应对参数进行讨论，是一道很好的题目，属于中档题．