Question

20．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：

零件的个数x（个）	2	3	4	5
加工的时间y（小时）	2.5	3	4	4.5

（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；两个变量y与x的回归模型中，分别选择了2个不同模型，模型①：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}x$+$\stackrel{∧}{a}$，模型②：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{c}$$\sqrt{x}$+$\stackrel{∧}{d}$，求$\stackrel{∧}{a}$，$\stackrel{∧}{b}$，$\stackrel{∧}{c}$，$\stackrel{∧}{d}$（精确到0.1）；
（Ⅱ）比较两个不同的模型的相关指数R₁²，R₂²，指出哪种模型的拟合效果最好，并说明理由．
附：回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b\overline{x}}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均数，令z=$\sqrt{x}$，则$\sum_{i=1}^{4}$z_iy_i=26.8，$\overline{z}$=1.8，$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{5}$≈2.2，R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\stackrel{∧}{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用表格中的数据先作出散点图；根据利用公式计算出样本中心点、$\sum_{i}^{4}{x}_{i}{y}_{i}$及$\sum_{i=1}^{4}$${x}_{i}^{2}$；x，即可求得系数a，b，可得回归方程；
（Ⅱ）分别求得模型一及模型二的R²，从而判断结论．

解答 解：（Ⅰ）散点图如下图：

由表中的数据得：
$\sum_{i}^{4}{x}_{i}{y}_{i}$=52.5，$\overline{x}$=$\frac{2+3+4+5}{4}$=3.5，$\overline{y}$=$\frac{2.5+3+4+4.5}{4}$=3.5，$\sum_{i=1}^{4}$${x}_{i}^{2}$；x=54，
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{52.5-4×3.5×3.5}{54-4×3．{5}^{2}}$≈0.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b\overline{x}}$=3.5-0.7×3.5≈1.1，
∴$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+1.1，
模型二：$\stackrel{^}{c}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}{z}_{i}-n\overline{y}\overline{z}}{\sum_{i=1}^{n}{z}_{i}^{2}-n{\overline{z}}^{2}}$=$\frac{26.8-4×3.5×1.8}{14-4×1．{8}^{2}}$≈1.5，
（Ⅱ）模型1：
${R}_{1}^{2}$=1-$\frac{（2.5-2×0.7-1.1）^{2}+（3-3×0.7-1.1）^{2}+（4-4×0.7-1.1）^{2}+（4.5-5×0.7-1.1）^{2}}{（2.5-3.5）^{2}+（{3-3.5）}^{2}+（4-4.5）^{2}+（4.5-3.5）^{2}}$，
模型2：
${R}_{2}^{2}$=1-$\frac{（2.5-1.4×1.5-0.8）^{2}+．…+（4.5-2.2×1.5-0.8）^{2}}{（2.5-3.5）^{2}+…+（4.5-3.5）^{2}}$＜${R}_{1}^{2}$，
∴模型1的拟合效果较好．

点评 本题考查散点图，考查线性回归方程，运算比较繁琐，考查学生的计算能力，属于基础题．