Question

10．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，B₁C的中点为O，且AO⊥平面BB₁C₁C．
（1）证明：B₁C⊥AB；
（2）若AC⊥AB₁，∠CBB₁=60°，BC=2，求B₁到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 （1）要证B₁C⊥AB，即证B₁C⊥平面ABC₁，由菱形的对角线垂直和线面垂直的性质，即可得证；
（2）由棱锥的体积公式，利用${V}_{{B}_{1}-ACB}$=${V}_{A-CB{B}_{1}}$，即可得到B₁到平面ABC的距离．

解答 （1）证明：连结BC₁，则BC₁与B₁C交于O，
∵侧面BB₁C₁C为菱形，∴B₁C⊥BC₁，
∵AO⊥平面BB₁C₁C，∴B₁C⊥AO
又∵BC₁∩AO=O，
∴B₁C⊥平面ABO，
由于AB?平面ABO，∴B₁C⊥AB（5分）
（2）解：设点B₁ 到平面ABC 的距离为h，
∵侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，BC=2，
∴△CBB₁为等边三角形，
∴BC=BB₁=B₁C=2，BO=$\sqrt{3}$
∵AC⊥AB₁，∴$OA=\frac{1}{2}{B_1}C=1，AC=\sqrt{2}$，
Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∵${V}_{{B}_{1}-ACB}$=${V}_{A-CB{B}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×1$，
∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴点B₁ 到平面ABC 的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．（12分）

点评 本题考查线面垂直的性质和判定定理及运用，考查棱锥的体积公式和运用，考查B₁到平面ABC的距离的计算，属于中档题．