Question

15．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，∠ACB=90°，$AC=\sqrt{2}，BC=C{C_1}=1，P$是BC₁上一动点，则A₁P+PC的最小值是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，不难看出CP+PA₁的最小值是A₁C的连线．（在BC₁上取一点与A₁C构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解．

解答 解：连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，如图所示，
连A₁C，则A₁C的长度就是所求的最小值．
BC₁=$\sqrt{2}$，A₁C₁=$\sqrt{2}$，A₁B=2，通过计算可得∠A₁C₁P=90°
又∠BC₁C=45°
∴∠A₁C₁C=135°
由余弦定理可求得A₁C=$\sqrt{2+1-2×\sqrt{2}×1×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）}$=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查棱柱的结构特征，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，是中档题．