Question

5．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点（D、E不与边的端点重合）．已知线段AD、AB的长分别为m、n，AE、AC的长是关于x的方程x²-18x+mn=0的两个根．
（1）证明：C、B、D、E四点共圆；
（2）若∠A=90°，n=2m=8，求四边形CBDE外接圆的面积．

Answer 1

分析 （1）利用平面几何知识证得△ADE∽△ACB，进一步得到∠ADE=∠ACB，从而得到C、B、D、E四点共圆；
（2）求解方程x²-18x+mn=0的两个根，得到AE=2，AC=16．设所求外接圆的圆心为O，半径为R，则圆心O为线段CE的中垂线与线段BD的中垂线的交点，利用勾股定理求得四边形CBDE外接圆的半径的平方得答案．

解答 （1）证明：连接DE，根据题意，在△ADE和△ACB中，
AD•AB=mn=AE•AC，即$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
又∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ACB，
因此∠ADE=∠ACB，
∴C、B、D、E四点共圆；
（2）解：当m=4，n=8时，方程x²-18x+mn=0的两个根为x₁=2，x₂=16．
故AE=2，AC=16．
设所求外接圆的圆心为O，半径为R，则圆心O为线段CE的中垂线与线段BD的中垂线的交点，
则|OE|=r，则${r}^{2}=（\frac{16-2}{2}）^{2}+（4+\frac{8-4}{2}）^{2}=85$．
故四边形CBDE外接圆的面积为85π．

点评 本题考查圆内接多边形性质的判断，考查分析问题和求解问题的能力，属中档题．