Question

17．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=$\frac{π}{3}$，△ADP为等边三角形．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若AB=2，BP=$\sqrt{6}$，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）取AD中点O，连结PO，BO，由已知可得PO⊥AD，BO⊥AD，又PO∩BO=O，即可证AD⊥平面POB，从而可得PB⊥AD．
（2）先证明PO⊥AD，可得PO⊥平面ABCD，利用等体积，求出点D到平面PBC的距离．

解答 （1）证明：取AD中点O，连结PO，BO．
侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形且∠DAB=$\frac{π}{3}$
∴PO⊥AD，BO⊥AD，
又PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB，
∴PB⊥AD；
（2）解：由题意，可得OB=OP=$\sqrt{3}$，
∵PB=$\sqrt{6}$，
∴PB²=OB²+OP²，
∴OP⊥OB
∵OB∩AD=O，
∴PO⊥平面ABCD
∴V_D-PBC=V_P-DBC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1，
∵AD∥BC，
∴PB⊥BC，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×2$=$\sqrt{6}$，
设点D到平面PBC的距离为h，则$\frac{1}{3}×\sqrt{6}h=1$，∴h=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，棱锥的体积的求法，考查了空间想象能力和转换思想，属于中档题．