Question

11．已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为4，∠ASB=30°，过点A作截面与侧棱SB、SC、SD分别交于E、F、G，则截面AEFG周长的最小值是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 将正四棱锥S-ABCD展开，得到六边形SABCDA'．连结AA'，分别交SB、SC、SD于E、F，G，可得截面△AEFG周长的最小值等于线段AA'长，根据余弦定理加以计算，可得答案．

解答 解：将正四棱锥S-ABCD展开，得到六边形SABCDA'．
连结AA'，分别交SB、SC、SD于E、F，G
再将展开图围成三棱锥S-ABC的侧面得到△AEF，即为周长最小的截面三角形，
由此可得截面△AEFG周长的最小值等于线段AA'长．
∵正四棱锥S-ABCD侧棱长为4，∠ASB=30°，∴∠ASA'=4×30°=120°．
∴由余弦定理可得AA′=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}-2×4×4×（-\frac{1}{2}）}$=4$\sqrt{3}$
即截面△AEFG周长的最小值为4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题已知正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角，在侧棱长为4的条件下求截面的周长最小值，着重考查了正四棱锥的性质、余弦定理和多面体的侧面展开图等知识，属于中档题．