Question

16．函数f（x）=3|x+5|-2|x+3|，数列a₁，a₂，…，a_n…，满足a_n+1=f（a_n），n∈N^*，若要使a₁，a₂，…a_n，…成等差数列．则a₁的取值范围{-9}∪[-3，+∞）．

Answer 1

分析 由绝对值的意义可得f（x）的分段函数式，求得对任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥1．{a_n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a_n≥-3，再对a₁讨论，①当a₁＜-5时，②若-5≤a₁＜-3，③若a₁≥-3，结合函数式和等差数列的通项，即可得到结论．

解答 解：当x≥-3时，f（x）=3x+15-2x-6=x+9；
当-5≤x＜-3时，f（x）=3x+15+2x+6=5x+21；
当x＜-5时，f（x）=-3x-15+2x+6=-x-9．
当a_n≥-3时，a_n+1-a_n=9；
当-5≤a_n＜-3时，a_n+1-a_n=4a_n+21≥4×（-5）+21=1；
当a_n＜-5时，a_n+1-a_n=-2a_n-9＞-2×（-5）-9=1．
∴对任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥1．
即a_n+1≥a_n，即{a_n}为无穷递增数列．
又{a_n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a_n≥-3，
从而a_n+1=f（a_n）=a_n+9，由于{a_n}为等差数列，
因此公差d=9．
①当a₁＜-5时，则a₂=f（a₁）=-a₁-9，
又a₂=a₁+d=a₁+9，故-a₁-9=a₁+9，即a₁=-9，从而a₂=0，
当n≥2时，由于{a_n}为递增数列，故a_n≥a₂=0＞-3，
∴a_n+1=f（a_n）=a_n+9，而a₂=a₁+9，故当a₁=-9时，{a_n}为无穷等差数列，符合要求；
②若-5≤a₁＜-3，则a₂=f（a₁）=5a₁+21，又a₂=a₁+d=a₁+9，
∴5a₁+21=a₁+9，得a₁=-3，应舍去；
③若a₁≥-3，则由a_n≥a₁得到a_n+1=f（a_n）=a_n+9，从而{a_n}为无穷等差数列，符合要求．
综上可知：a₁的取值范围为{-9}∪[-3，+∞）．
故答案为：{-9}∪[-3，+∞）．

点评 本题综合考查了分类讨论的思想方法、如何去绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．