Question

已知常数,函数.
(1)讨论在区间上的单调性;
(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.

Answer 1

(1)详见解析  (2)

试题分析:(1)首先对函数求导并化简得到导函数,导函数的分母恒大于0,分子为含参的二次函数,故讨论分子的符号,确定导函数符号得到原函数的单调性,即分和得到导函数分子大于0和小于0的解集进而得到函数的单调性.
(2)利用第(1)可得到当时,导数等于0有两个根,根据题意即为两个极值点,首先导函数等于0的两个根必须在原函数的可行域内,把关于的表达式带入,得到关于的不等式,然后利用导函数讨论的取值范围使得成立.即可解决该问题.
(1)对函数求导可得
,因为,所以当时,即时,恒成立,则函数在单调递增,当时, ,则函数在区间单调递减,在单调递增的.
(2)解:(1)对函数求导可得,因为,所以当时,即时,恒成立,则函数在单调递增,当时, ,则函数在区间单调递减,在单调递增的.
(2)函数的定义域为,由(1)可得当时,,则 ,即,则为函数的两个极值点,代入可得
=
令,令,由知: 当时,, 当时,,
当时,,对求导可得,所以函数在上单调递减,则,即不符合题意.
当时, ,对求导可得,所以函数在上单调递减,则,即恒成立,
综上的取值范围为.