Question

已知函数 
(1)求在点处的切线方程；
(2)证明：曲线与曲线有唯一公共点；
(3)设，比较与的大小, 并说明理由.

Answer 1

(1)

试题分析：(1)首先求出，令，即可求出在点处的切线方程的斜率，代入点斜式即可求出切线方程
(2)令 则，根据，讨论在上单调递增，所以，所以在上单调递增，
，又，即函数有唯一零点，所以曲线与曲线有唯一公共点.
(3)作差得，令,讨论， 的单调性，得到在上单调递增，而，所以在上，可得时，
（1) ，则，点处的切线方程为：,
(2) 令 ，，则，
且，，
因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以，所以在上单调递增，又，即函数有唯一零点，
所以曲线与曲线有唯一公共点.
(3) 设

令且，则
，所以 在上单调增，且 ，
因此，在上单调递增，而，所以在上
即当时，且，
所以，
所以当时，