Question

设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0．
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

Answer 1

（1）f(x)＝x－
（2）见解析

解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝．
又f′(x)＝a＋，
于是，解得
故f(x)＝x－．
(2)证明：设P(x₀，y₀)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x₀，y₀)处的切线方程为y－y₀＝(1＋)·(x－x₀)，即y－(x₀－)＝(1＋)(x－x₀)．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．
令y＝x，得y＝x＝2x₀，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x_0,2x₀)．
所以点P(x₀，y₀)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x₀|＝6．
曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．