Question

如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，
（1）求证：BE=2AD；
（2）求函数AC=1，EC=2时，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以△BDE∽△BCA，由此能够证明BE=2AD．
（2）由条件得AB=2AC=2，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB-AD）•BA=2AD•（2AD+CE），由此能求出AD．

解答：（1）证明：连接DE，
∵ACED是圆的内接四边形，
∴∠BDE=∠BCA，
∵∠DBE=∠CBA，
∴△BDE∽△BCA，
∴

BE

BA

=

DE

CA

，
∵AB=2AC，
∴BE=2DE．
∵CD是∠ACB的平分线，
∴AD=DE，
从而BE=2AD．（5分）
（2）解：由条件得AB=2AC=2，
设AD=t，根据割线定理得
BD•BA=BE•BC，
∴（AB-AD）•BA=2AD•（2AD+CE），
∴（2-t）×2=2t（2t+2），
∴2t²+3t-2=0，
解得t=

1

2

，即AD=

1

2

．（10分）

点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意圆的内接四边形的性质和切割线定理的合理运用．