Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得四边形ABFD为正方形，O为AF，BD的交点，PO⊥BD，由此能证明PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角二面角B-PC-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB．
∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，
∴四边形ABFD为正方形．
∵O为BD的中点，
∴O为AF，BD的交点，
∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，
∵BD=

AD2+AB2

=2

2

，
∴PO=

PB2-BO2

=

2

，AO=

1

2

BD=

2

，
在三角形PAO中，PO²+AO²=PA²=4，
∴PO⊥AO，
∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，
又AB⊥AD，所以过O分别做AD，AB的平行线，
以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），
D（1，-1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），P（0，0，

2

），

PC

=(1，3，-

2

)，

PD

=(1，-1，-

2

)，

PB

=(-1，1，-

2

)，
设平面PDC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • PC =x+3y- 2 z=0 n • PD =x-y- 2 z=0

，令z=1，
则平面PDC的一个法向量为

n

=(

2

，0，1)，
设平面PBC的法向量为

m

=(a，b，c)，
则

m • PC =a+3b- 2 c=0 m • PB =-a+b- 2 c=0

，
取c=

2

，得

m

=（0，1，

2

），
设二面角B-PC-D的大小为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

2

3 × 3

|=

2

3

．
∴二面角B-PC-D的大小为arccos

2

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．