Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，，，E为AB的中点将沿直线DE折起到的位置，使平面平面BCDE．

（1）证明：平面PDE．

（2）设F为线段PC的中点，求四面体D-PEF的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）在四边形ABCD中，根据已知角的大小和边的大小关系，可得DE⊥CE，又平面平面BCDE，根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面PDE；
（2）根据棱锥体积公式可知，取PE的中点G，可得，进而平面PDE，故FG是三棱锥F-PDE，以F为顶点时的高，分别求出和FG即可求出四面体D-PEF的体积．

（1）因为，E为AB的中点，则．

又，则为正三角形，所以．

因为，，则．

从而，即．

因为平面平面BCDE，平面平面．

平面BCDE，所以平面PDE．

（2）取PE中点G，连结FG．由于E为AB的中点，，则，

而，则，则．

因为F为C的中点，则，所以平面PDE ．

在中，，，则

，即，所以，

则．