Question

17．已知x＞0，y＞0，z＞0．
（1）若x+2y-3z=0，证明：$\frac{z}{x}$+$\frac{2z}{y}$≥3；
（2）若xyz=1，求x+2y+3z的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得z=$\frac{1}{3}$（x+2y），整体代入可得$\frac{z}{x}$+$\frac{2z}{y}$=$\frac{5}{3}$+$\frac{2y}{3x}$+$\frac{2x}{3y}$，由基本不等式可得；
（2）由题意可得x+2y+3z≥3$\root{3}{x•2y•3z}$=3$\root{3}{6}$，验证等号成立即可．

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0，z＞0，x+2y-3z=0，
∴z=$\frac{1}{3}$（x+2y），∴$\frac{z}{x}$+$\frac{2z}{y}$=$\frac{x+2y}{3x}$+$\frac{2x+4y}{3y}$
=$\frac{5}{3}$+$\frac{2y}{3x}$+$\frac{2x}{3y}$≥$\frac{5}{3}$+2$\sqrt{\frac{2y}{3x}•\frac{2x}{3y}}$=3，即$\frac{z}{x}$+$\frac{2z}{y}$≥3；
（2）∵x＞0，y＞0，z＞0且xyz=1，
∴x+2y+3z≥3$\root{3}{x•2y•3z}$=3$\root{3}{6}$
当且仅当x=2y=3z时取等号，
故x+2y+3z的最小值为3$\root{3}{6}$

点评 本题考查基本不等式求最值，属基础题．