Question

给出如下五个结论：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②若命题p：存在x∈R，使得x²+x+1＜0，则?p：对任意x∈R，则x²+x+1≥0；
③“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件；
④存在实数x∈R，使sinx+cosx=

π

2

成立；
⑤对任意的x＞0，都有x＞lnx．
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,简易逻辑

分析：①可通过复合命题p且q的真值表，即可判断；
②可由含有一个量词的命题的否定的形式，可判断；
③由充分必要条件的定义即可判断；
④求出sinx+cosx的最大值

2

，即可判断；
⑤令y=lnx-x（x＞0），通过导数求出极值点，从而求出最值，即可判断．

解答： 解：①若“p且q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故①错；
②若命题p：存在x∈R，使得x²+x+1＜0，则?p：对任意x∈R，则x²+x+1≥0，故②对；
③“x=1”可推出“x²-3x+2=0”，反之不成立，故③对；
④由于sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，而

π

2

＞

2

，故不存在实数x∈R，使sinx+cosx=

π

2

成立，
故④错；
⑤令y=lnx-x（x＞0），y′=

1

x

-1，当x＞1时，y′＜0，当0＜x＜1，y′＞0，则x=1取极大值也为最大值，
且为-1，即有y≤-1，故lnx≤x-1＜x，故⑤对．
故答案为：②③⑤．

点评：本题主要考查简易逻辑的基础知识，考查复合命题的真假、充分必要条件的判断、命题的否定以及全称性、存在性命题的真假，属于基础题．