Question

正三棱锥S-ABC底面边长和高都是

3

，E是边BC的中点，动点P在三棱锥表面上运动，并且总保持

PE

•

AC

=0，则动点P的轨迹的周长为

 

．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：根据题意可知点P的轨迹为三角形EFG，其中G、F为中点，根据中位线定理求出EF、GE、GF，从而求出轨迹的周长．

解答： 解：由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，
其中G、F分别为SC和AC的中点，
连结AE，作SO⊥平面ABC，交AE于O，
正三棱锥S-ABC底面边长和高都是

3

，
∴AE=

3- 3 4

=

3

2

，∴SO=1，
∴SA+SB=SC=

3+1

=2，
∴动点P的轨迹的周长即△GEF的周长为：
EF+GE+GF=

1

2

(AB+SB+SA)=

3

2

+2．
故答案为：

3

2

+2．

点评：本题主要考查了轨迹问题，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想象能力，计算推理能力，属于中档题．