Question

已知方程mx+3m=

4-x2

有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：构造函数g（x）=mx+3m=m（x+3），f（x）=

4-x2

，在同一坐标系中作出二函数的图象，数形结合即可求得实数m的取值范围．

解答： 解：令g（x）=mx+3m=m（x+3），f（x）=

4-x2

，
∵方程mx+3m=

4-x2

有两个不同的实数解，
∴g（x）=mx+3m=m（x+3）与f（x）=

4-x2

有两个不同的交点，
在同一坐标系中作图如下：

∵g（x）=mx+3m=m（x+3）为过定点（-3，0）的直线，
∴m=0时，显然g（x）=0与f（x）=

4-x2

有两个不同的交点；
当直线g（x）=mx+3m与曲线f（x）=

4-x2

相切时，

|3m|

1+m2

=2，解得m=

2

5

=

2 5

5

或m=-

2 5

5

（舍），
∴0≤m＜

2 5

5

，即实数m的取值范围是[0，

2 5

5

）．
故答案为：[0，

2 5

5

）．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查等价转化思想与数形结合思想的综合应用，属于中档题．