Question

14．（1）解不等式：|2x-1|-|x|＜1；
（2）设f（x）=x²-x+1，实数a满足|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a+1|）

Answer 1

分析 （1）根据题意，对x分3种情况讨论：①当x＜0时，②当0≤x＜$\frac{1}{2}$时，③当x≥$\frac{1}{2}$时；在各种情况下．去掉绝对值，化为整式不等式，解可得三个解集，进而将这三个解集取并集即得所求．
（2）根据|f（x）-f（a）|=|x²-x-a²+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1，证得结果．

解答 （1）解：根据题意，对x分3种情况讨论：
①当x＜0时，原不等式可化为-2x+1＜-x+1，解得x＞0，又x＜0，则x不存在，
此时，不等式的解集为∅．
②当0≤x＜$\frac{1}{2}$时，原不等式可化为-2x+1＜x+1，解得x＞0，又0≤x＜$\frac{1}{2}$，
此时其解集为{x|0＜x＜$\frac{1}{2}$}．
③当x≥$\frac{1}{2}$时，原不等式化为2x-1＜x+1，解得$\frac{1}{2}$≤x＜2，
又由x≥$\frac{1}{2}$，此时其解集为{x|$\frac{1}{2}$≤x＜2}，
综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．
（2）证明：∵f（x）=x²-x+1，实数a满足|x-a|＜1，
故|f（x）-f（a）|=|x²-x-a²+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．
∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，用放缩法证明不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．