Question

2．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB
（1）求证：EA⊥平面EBC
（2）求二面角C-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明EA⊥平面EBC；
（2）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 （1）∵平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，
∴BC⊥平面ABE
∵EA?平面ABE，∴EA⊥BC，
∵EA⊥EB，EB∩BC=B，
∴EA⊥平面EBC
（2）取AB中O，连接EO，DO．
∵EB=EA，∴EO⊥AB．
∵平面ABE⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD
∵AB=2CD，AB∥CD，AB⊥BC，
∴DO⊥AB，
建立如图的空间直角坐标系O-xyz如图：
设CD=1，则A（0，1，0），B（0，-1，0），C（1，-1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），
由（1）得平面EBC的法向量为$\overrightarrow{EA}$=（0，1，-1），
设平面BED的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y+z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，
设x=1，则y=-1，z=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
则|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{EA}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{EA}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故二面角C-BE-D的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查空间线面垂直判定以及二面角的求解，根据相应的判定定理以及建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．