Question

4．已知函数f（x）=alnx-（x+1）²，若存在正数x₁，x₂，当x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂），则实数a的取值范围是a＞0．

Answer 1

分析 由题意，f（x）在（0，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）=$\frac{a}{x}$-2（x+1）＞0在（0，+∞）上有解，分离参数，即可求解．

解答 解：由题意，f（x）在（0，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）=$\frac{a}{x}$-2（x+1）＞0在（0，+∞）上有解，
∴a＞2x（x+1）在（0，+∞）上有解，
∵y=2x（x+1）在（0，+∞）上单调递增，
∴y_min=0，
∴a＞0．
故答案为：a＞0．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．