Question

7．如图$∠ABC=\frac{π}{4}，O$为AB上一点，且3OB=3OC=2AB，又PO⊥平面ABC，2DA=2AO=PO，且DA∥PO．
（1）求证：平面PBD⊥平面COD；
（2）求PD与平面BDC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设OA=1，利用勾股定理得出PD⊥OD，由OC⊥平面ABPD得出OC⊥PD，于是PD⊥平面COD，从而有平面PBD⊥平面COD；
（2）以O为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{PD}$和平面BCD的法向量$\overrightarrow{n}$，则PD与平面BDC所成的角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{PD}$＞|．

解答 证明：（1）设OA=AD=1，则OB=OC=OP=2，
∵AD∥PO，PO⊥平面ABC，
∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥AO．∴OD=$\sqrt{2}$，PD=$\sqrt{2}$
又PO=2，∴PD²+OD²=PO²，∴PD⊥OD．
∵OB=OC，$∠ABC=\frac{π}{4}$，∴OC⊥AB．
∵PO⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴PO⊥AB，又AB?平面ABPD，OP?平面ABPD，AB∩OP=O，
∴OC⊥平面ABPD，∵PD?平面ABPD，
∴OC⊥PD，
又OC?平面COD，DO?平面COD，OC∩OD=O，
∴PD⊥平面COD，∵PD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面COD．
（2）以O为原点，以OC，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则P（0，0，2），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，-1，1）．
∴$\overrightarrow{PD}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{BC}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，-3，1）．
设平面BCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y=0}\\{-3y+z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，3），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PD}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{11}•\sqrt{2}}$=-$\frac{2\sqrt{22}}{11}$．
∴PD与平面BDC所成的角的正弦值为$\frac{2\sqrt{22}}{11}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．