Question

9．已知函数f（x）=|x+6|-|x-m|）（m∈R）
（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，得到各个区间上的x的范围，取并集即可；
（2）根据绝对值的几何意义求出m的范围即可．

解答 解：（1）当m=3时，f（x）≥5即|x+6|-|x-3|≥5，
①当x＜-6时，得-9≥5，所以x∈∅；
②当-6≤x≤3时，得x+6+x-3≥5，即x≥1，所以1≤x≤3；
③当x＞3时，得9≥5，成立，所以x＞3．…（4分）
故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≥1}．…（5分）
（Ⅱ）因为|x+6|-|m-x|≤|x+6+m-x|=|m+6|，
所以由题意得|m+6|≤7，则-7≤m+6≤7，…（8分）
解得-13≤m≤1，
故m的取值范围是[-13，1]．…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的几何意义，分类讨论思想，是一道中档题．