Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）对函数求导，分当时和当时，讨论导函数的正负，进而得到单调区间；（2）原式子等价于对任意，都有恒成立，即在上，按照第一问分的情况，继续讨论导函数的正负得到原函数的单调性，进而得到函数的最值，得到结果.

（1）函数的定义域为，

.

当时，恒成立，函数的单调递增区间为.

当时，由，得或（舍去），

则由，得，由，得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）对任意，函数的图像不在轴上方，等价于对任意，都有恒成立，即在上.

由（1）知，当时，在上是增函数，

又，不合题意；

当时，在处取得极大值也是最大值，

所以.

令，所以.

在上，，是减函数.

又，所以要使得，须，即.

故的取值范围为.