Question

设

a

=（cosα，（λ-1）sinα），

b

=（cosβ，sinβ），（λ＞0，0＜α＜β＜

π

2

）是平面上的两个向量，若向量

a

+

b

与

a

-

b

互相垂直．
（1）求实数λ的值；
（2）若

a

•

b

=

4

5

，且tanβ=

4

3

，求tan（α-

π

4

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）由向量的垂直的条件和题意列出方程，再由向量的数量积运算进行化简求值；
（2）由向量的数量积运算、两角差的余弦公式化简

a

•

b

=

4

5

，求出cos（α-β），再由同角三角函数的基本关系求出sin（α-β）、tan（α-β），两角和的正切公式求出tanα和tan（α-

π

4

）．

解答： 解：（1）由题意得，（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0，则

a

2-

b

2=0，
将

a

=（cosα，（λ-1）sinα），

b

=（cosβ，sinβ）代入上式得，
cos²a+（λ-1）²sin²α-cos²β-sin²β=0，
化简得，（λ-1）²sin²α-sin²α=0，
因为λ＞0，0＜α＜

π

2

，所以（λ-1）²-1=0，解得λ=2；
（2）由（1）知，

a

•

b

=（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ）
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=

4

5

，
因为0＜α＜β＜

π

2

，所以-

π

2

＜α-β＜0，
所以sin（α-β）=-

1-cos2(α-β)

=-

3

5

，
则tan（α-β）=

sin(α-β)

cos(α-β)

=-

3

4

，
所以tanα=tan[（α-β）+β]=

tan(α-β)+tanβ

1-tan(α-β)tanβ

=

- 3 4 + 4 3

1-(- 3 4 )× 4 3

=

7

24

，
则tan（α-

π

4

）=

tanα-tan45°

1+tanαtan45°

=

7 24 -1

1+ 7 24

=-

17

31

．

点评：本题考查向量的垂直的条件，向量的数量积运算，平方关系，两角和的正切公式的应用，注意角之间关系的灵活变形，以及角的范围的确定，属于中档题．