Question

已知函数．f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将f（x）的图象向左平移

π

8

个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短到原来的

1

2

倍，可得到函数g（x）的图象，求g（x）的对称轴；
（3）若f（-

α

2

）=-

3

3

，α∈（0，π），求cos2α的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简函数解析式可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ得f（x）的递减区间．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）的解析式，由4x=

π

2

+kπ，k∈Z，即可解得g（x）的对称轴方程．
（3）由已知可得sinα+cosα=

3

3

，可得sin2α=2sinαcosα=-

2

3

．由cos2α=cos²α-sin²α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）＜0，即可求得cos2α的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x=sin2x-cos2x．
即f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），…（2分）
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，k∈Z
∴f（x）的递减区间为：[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]，k∈Z．…（4分）
（2）g（x）=

2

sin4x，…（6分）
由4x=

π

2

+kπ，k∈Z，
∴g（x）的对称轴方程为x=

π

8

+

kπ

4

，k∈Z            …（8分）
（3）∵f（-

a

2

）=-sinα-cosα=-

3

3

，
∴sinα+cosα=

3

3

，…（10分）
∴sin2α=2sinαcosα=-

2

3

．
∵α∈（0，π），sinαcosα＜0，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴α∈(

π

2

，π)，cosα-sinα＜0，
∵cos2α=cos²α-sin²α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）＜0，
∴cos2α=-

1-(- 2 3 )2

=-

5

3

．                  …（13分）

点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．