Question

已知函数定义域（-1，1]，满足f（x）+1=

1

f(x+1)

，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若函数g（x）=

f(x)， -1＜x≤1 1 2 |x2-5x+6|， 1＜x≤3

，方程g（x）-mx-2m=0有三个实根，则实数m的取值范围是（　　）

• A、

  1

  36

  ≤m＜

  1

  3

• B、

  1

  36

  ＜m＜1
• C、

  9-4 5

  2

  ≤m＜

  1

  3

• D、

  9-4 5

  2

  ＜m＜

  1

  3

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,抽象函数及其应用,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：先求出g（x）的解析式，再分别画出函数g（x）与y=m（x+2）的图象，观察图象求出m的取值范围

解答： 解：当x∈[-1，0]，x+1∈[0，1]，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，
∴f（x+1）=x+1
∵f（x）=

1

f(x+1)

-1=

1

x+1

-1=-

x

x+1

，
∴f（x）=

x，x∈[0，1] - x x+1 ，x∈(-1，0)

∵函数g（x）=

f(x)， -1＜x≤1 1 2 |x2-5x+6|， 1＜x≤3

，
∴g（x）=

- x x+1 ，-1＜x＜0 x，0≤x≤1 1 2 (x2-5x+6)，1＜x≤2 - 1 2 (x2-5x+6)，2＜x≤3

∵方程g（x）-mx-2m=0有三个实根，
∴g（x）=m（x+2），
即函数g（x）与直线y=m（x+2）有三个交点，
分别画出函数g（x）与y=m（x+2）的图象，
如图所示，函数y=m（x+2）过定点（-2，0），
∴当直线过点B（1，1）时，函数图象有两个交点，即m=

1

3

，
故当m＜

1

3

时，两个图象有三个交点，
当直线过点C时，函数图象有4个交点，
即y=m（x+2）与g（x）=-

1

2

（x²-5x+6）有且只有一个交点，
∴m（x+2）=-

1

2

（x²-5x+6），
即x²-（5-2m）x+6+4m=0，
∴△=（5-2m）²-4（6+4m）=0，
解得m=

9+4 5

2

（舍去），或m=

9-4 5

2

，
∴实数m的取值范围=

9-4 5

2

＜x＜

1

3

，
故选：D

点评：本题考查了解析式的求法，以及方程根的问题，关键是利用了数形结合的思想，运算量较大，属于中档题