Question

已知抛物线C：y²=-x与直线l：y=k（x+1）相交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求

OA

•

OB

的值；
（2）当△AOB的面积为

10

时，求实数k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）联立直线方程和抛物线方程，分别消去x，y运用韦达定理，再由向量的数量积的运算，即可得到所求值；
（2）直线l：y=k（x+1）恒过点（-1，0），则△AOB的面积为S=

1

2

|y₁-y₂|，运用（1）的结论，计算即可得到k．

解答： 解：（1）将直线方程代入抛物线方程，消去y，得，
k²x²+（2k²+1）x+k²=0，（k≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁•x₂=1，
又联立直线方程和抛物线方程，消去x，得，
ky²+y-k=0，则y₁y₂=-1，y₁+y₂=-

1

k

，
则有

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=1-1=0；
（2）直线l：y=k（x+1）恒过点（-1，0），
则△AOB的面积为S=

1

2

|y₁-y₂|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

1 k2 +4

=

10

，解得，k=±

1

6

．

点评：本题考查抛物线方程和运用，考查向量的数量积的坐标表示，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和面积公式，考查运算能力，属于中档题．