Question

已知f（x）=2x²+lnx-ax，若对?x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0 为真命题，则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：由条件推出函数为增函数，先求出导函数，然后将函数f（x）是单调递增函数，转化成f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，将a分离出来，利用基本不等式求出另一侧的最值，即可求出所求．

解答： 解：∵f（x）满足对?x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0 为真命题，则数f（x）是单调递增函数，
∵f（x）=2x²+lnx-ax，
∴f′（x）=4x-a+

1

x

∵函数f（x）是单调递增函数，
∴f′（x）=4x-a+

1

x

≥0在（0，1）上恒成立
即a≤4x+

1

x

在（0，+∞）上恒成立
而x∈（0，+∞）时4x+

1

x

≥2

4x• 1 x

=4
∴a≤4，
故答案为：a≤4．

点评：本题主要考查函数单调性的应用和判断，根据函数导数和单调性之间的关系转化为函数恒成立即可得到结论．