Question

10．已知向量$\overrightarrow{OB}$=（2，0），向量$\overrightarrow{OC}$=（2，2），向量$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），则向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{CB}$的夹角的取值范围是[105°，165°]．

Answer 1

分析 根据|CA|=$\sqrt{2}$得出A的轨迹，结合图形可知当OA与轨迹圆相切时，夹角取得最值，利用平面几何的性质求出切线的夹角即可得出向量的夹角．

解答 解：∵$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{OC}$=（2，2），∴B（2，0），C（2，2），
∵$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），∴|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{2}$，
∴A在以C为圆心，以$\sqrt{2}$为半径的圆C上．
∴当OA与圆C相切时，向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{CB}$的夹角取得最大值或最小值．
设切点分别为A和A′，连结OC，OA，OA′，则OC=2$\sqrt{2}$，AC⊥OA，
∵sin∠AOC=$\frac{AC}{OC}=\frac{1}{2}$，∴∠AOC=∠A′OC=30°，
∴∠AOB=∠AOy=15°，
∴当切点为A时，向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{CB}$的夹角取得最小值15°+90°=105°，
当切点为A′时，向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{CB}$的夹角取得最大值180°-15°=165°．
故答案为：[105°，165°]．

点评 本题考查了平面向量的几何意义，向量夹角的运算，属于中档题．