Question

2．如图，在三棱锥A-BCD中，二面角A-BC-D的大小为$\frac{π}{4}$，AB⊥BC，DC⊥BC，M，N分别为AC，BD的中点，已知AB=$\sqrt{2}$，BC=CD=1．
（Ⅰ）求证：MN⊥面BCD；
（Ⅱ）求直线AD与平面BCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （I）取BC中点E，连接ME，NE，利用线面垂直的判定定理可得ME⊥BC，同理NE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得BC⊥MN，可得∠MEN为二面角A-BC-D的平面角，利用余弦定理与勾股定理的逆定理即可得出．
（II）取DC中点P，连接MP，NP，可得MP⊥AD，由（1）知MN⊥平面BCD，于是∠MPN为所求的线面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （I）证明：取BC中点E，连接ME，NE，
则ME⊥AB，AB⊥BC，可得ME⊥BC，
同理NE⊥BC，又ME∩NE=E，
∴BC⊥平面MNE，∴BC⊥MN，
∴∠MEN为二面角A-BC-D的平面角，∴∠MEN=45°，
∴在△MEN中，ME=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，NE=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\sqrt{M{E}^{2}+N{E}^{2}-2ME•NEcos4{5}^{°}}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN²+NE²=ME²，MN⊥NE，∴MN⊥面BCD．
（II）解：取DC中点P，连接MP，NP，
则MP⊥AD，由（1）知MN⊥平面BCD，则∠MPN为所求的线面角．
∵NP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，在RT△MNP中，MN=NP=$\frac{1}{2}$，∠MPN45^°．
即直线AD与平面BCD所成角为45^°．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、空间角、余弦定理、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．