Question

17．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个不共线的向量，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CB}$=k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，若A，B，D共线，则k的值为（　　）

• A． -$\frac{9}{4}$
• B． -$\frac{4}{9}$
• C． -$\frac{3}{8}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 根据平面向量的线性运算法则，利用共线定理和向量相等列出方程组，即可求出k的值不存在．

解答 解：$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个不共线的向量，且$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CB}$=k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CB}$=（3-k）$\overrightarrow{{e}_{1}}$-（2k+1）$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
若A，B，D共线，
则$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，
即（3-k）$\overrightarrow{{e}_{1}}$-（2k+1）$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-k=λ}\\{-（2k+1）=2λ}\end{array}\right.$，
解得k的值不存在．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与共线定理和向量相等的应用问题，是基础题目．