Question

4．已知过抛物线y²=9x的焦点的弦AB长为12，则直线AB的倾斜角为$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 首先根据抛物线方程，求得焦点坐标为F（ $\frac{9}{4}$，0），从而设所求直线方程为y=k（x-$\frac{9}{4}$）．再将所得方程与抛物线y²=9x消去y，利用韦达定理求出x₁+x₂，最后结合直线过抛物线y²=9x焦点截得弦长为12，得到x₁+x₂+3=12，求出k，得到直线的倾斜角．

解答 解：∵抛物线方程是y²=9x，
∴2p=9，可得 $\frac{p}{2}$=$\frac{9}{4}$，焦点坐标为F（$\frac{9}{4}$，0）
设所求直线方程为y=k（x-$\frac{9}{4}$），
与抛物线y²=9x消去y，得k²x²-（$\frac{9}{2}$k²+9）x+$\frac{81}{16}$k²=0
设直线交抛物线与A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根与系数的关系，得x₁+x₂=$\frac{\frac{9}{2}{k}^{2}+9}{{k}^{2}}$，
∵直线过抛物线y²=9x焦点，交抛物线得弦长为12，
∴x₁+x₂+$\frac{9}{2}$=12，可得x₁+x₂=$\frac{15}{2}$，
因此，$\frac{\frac{9}{2}{k}^{2}+9}{{k}^{2}}$=$\frac{15}{2}$，解之得k²=3，
∴k=tanα=±$\sqrt{3}$，结合α∈[0，π），可得α=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

点评 本题给出已知方程的抛物线焦点弦长为12，求这条弦所在直线的倾斜角，着重考查了直线倾斜角、抛物线的基本概念和直线与抛物线的位置关系等知识点，属于中档题．