Question

如图，储油灌的表面积S为定值，它的上部是半球，下部是圆柱，半球的半径等于圆柱底面半径．
（1）试用半径r表示出储油灌的容积V，并写出r的范围．
（2）当圆柱高h与半径r的比为多少时，储油灌的容积V最大？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）由表面积S为定值，用r表示出h，可得储油灌的容积V及r的范围；
（2）求导函数，确定函数的极大值即最大值，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵S=2πr²+2πrh+πr²=3πr²+2πrh，∴h=

S-3πr2

2πr

，…（3分）
∴V=

2

3

πr3+πr2h=

rS

2

-

5

6

πr3   (0＜r＜

3πS

3π

)；                           …（7分）
（2）∵V′=

S

2

-

5

2

πr2，令V'=0，得r=

5πS

5π

，列表

r	(0， 5πS 5π )	5πS 5π	( 5πS 5π ， 3πS 3π )
V'（r）	+	0	-
V（r）	↗	极大值即最大值	↘

…（11分）
∴当r=

5πS

5π

时，体积V取得最大值，此时h=

5πS

5π

，
∴h：r=1：1．…（13分）
答：储油灌容积V=

rS

2

-

5

6

πr3   (0＜r＜

3πS

3π

)，当h：r=1：1时容积V取得最大值．…（15分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数解析式是关键．