Question

已知向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），

b

=（cosωx，cosωx），其中ω＞0，记函数f（x）=

a

•

b

，若f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设0≤α≤

π

3

，且f（

α

2

）=

1+ 3

2

，试求sinα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（I）由函数f（x）=

a

•

b

转化为sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，利用周期公式求得ω；
（Ⅱ）利用第一问的结果，直接求出α的大小，然后求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx（2分）
=

3

2

sin2ωx+

1

2

（1+cos2ωx）
=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

（4分）
∵ω＞0，∴T=π=

2π

2ω

，∴ω=1（6分）
（Ⅱ）f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
f（

α

2

）=

1+ 3

2

=sin（α+

π

6

）+

1

2

，∴sin（α+

π

6

）=

3

2

，∵0≤α≤

π

3

，∴α+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，
∴α+

π

6

=

π

3

，∴α=

π

6

∴sinα=

1

2

点评：本题主要考查用向量运算将函数转化为一个角的一种三角函数，进一步研究三角函数的周期性和值域．